Reading 7: Statistical Concepts and Market Returns

a. differentiate between descriptive statistics and inferential statistics, between a population and a sample, and among the types of measurement scales;

(一) 敘述統計vs推論統計

敘述統計—描述事件，推論統計—預測事件

(二) 有母數統計及無母數統計

又稱為參數統計(parametric statistics)及非參數統計(non-parametric statistics)。無母數統計指的是對母體參數沒有假設的統計方法，通常用在(1)我們對母體沒有合適的假設或是根本沒有足夠的了解時(2)經常用在樣本數量不足，很多統計方法不合適的時候。

(三) 量度分類

名目尺度：不能相加減的，舉例來說：代表同性戀的「0」號、「1」號，就無法被相加減。

順序尺度：舉例來說，我們在做問卷時常有用「好」、「中等」、「不好」作為結果，或是競賽中用1、2、3名作為評分，但是我們很難說第一名就是第三名的三倍好，或雖然同是相差一名，3到2與2到1的差距可能不同，所以這樣的問題我們通常認為是順序的。

區間尺度：量度的定義在許多生活事物上，事實上是具有一定的模糊空間。舉例來說，通常我們認為國小的年級是順序變數，但是也許對某些人來說，六年級與五年級的差別和二年級與一年級的差別是一樣的，則此時它就是區間變數。又以溫度來說，0℃不代表沒有溫度，「北京比哈爾濱熱二倍」也無此說法。

此處的定義雖是基礎，但配合上不同的推論統計方式適用的量度不同，在研究上常會有很大的差別。舉例來說，如果我們的主題是「吵架時之眼神交換與關係之親密程度」，則眼神交換的量度可以是：有、無；觀察樣本的數量排序；次數等。同樣的親密程度也可以做同樣的分法。

量 度看起來是一個十分無聊的分類，但是實際上，將來我們處理推論統計時，有許多的統計方式僅適用於特定的量度，此時，我們對於分類的基本認識就很重要了。舉 例來說，在研究時，許多人會將順序尺度的資料拿來做直線迴歸線，例如根據考試前五名的成績推估第六名的成績，像這種做法就很有爭議了。更嚴重的是用投入唸 書的時間來推估其名次，這就離譜了。

b. explain a parameter, a sample statistic, and a frequency distribution;

c. calculate and interpret relative frequencies and cumulative relative frequencies, given a frequency distribution, and describe the properties of a dataset presented as a histogram or a frequency polygon;

(一) 母體與樣本

1. 母體(population)：

所有我們所關心的問題的集合。舉例來說，如果我們想要了解總統大選的結果，則全台灣每一個人的決定，就構成了母體。

2. 樣本(sample)

母體的部分集合。

3. 統計量(statistic)

樣本特質的描述值。在標準的統計學上指的是：無未知參數的隨機變數之函數(Hogg & Craig 1995)。最早是費雪(Fisher)用以區分抽樣而成之估計值與被估計值之間的差異時，用以代稱估計值之名詞。e.g.：樣本平均數、標準差等。

4. 參數(parameter)

任何數學函數中給定的值(非自變數亦非應變數者)稱為參數。而每一個的母體都可以用某種數學函數表示，故將描述母體或任何分配的給定值稱之為參數。在實用上，常將描述母體屬性的值，如母體平均等的值，稱之為母體參數。

5. 分佈

將各種可能的結果發生的次數分組畫出稱之為直方圖，這種不同的數值有不同的發生頻率的現象及表示稱之為一個分佈或頻率分佈。

(二) 常見圖型

1. 長條圖(bar graph)

主要用於定性資料

2. 圓形比例圖(Pie chart)

主要用於定性資料，主要的功能在於呈現不同百分比的資料。

3. 直方圖(histogram)：

將資料分組，計算各組之數量，劃成長條圖，即可製成直方圖。多用於定量資料。

4. 帕拉圖(Pareto chart)

當資料為名目尺度時，我們可以將直方圖中的結果，依數量排序。這種調整後的直方圖，稱為帕拉圖。

5. 頻率多邊形(frequency polygon)：

將資料點以直線相連，即可得頻率多邊形。當資料為分組資料時，將組中點相連。

d. define, calculate, and interpret measures of central tendency, including the population mean, sample mean, arithmetic mean, weighted average or mean (including a portfolio return viewed as a weighted mean), geometric mean, harmonic mean, median, and mode;

(一) 集中量數(measures of central location)

曾 有學者說，人在記憶數字時，一次不能超過七位。不論這個數字正不正確，人腦是有限的。因此，我們在生活裏，習慣用一個數字「代表」一整群的數字。舉例來 說，當我們想要知道一個國家的人是否富裕時，我們會看這個國家的「平均國民所得」是多少，這裡所說的「平均國民所得」就是一個集中量數。

e.g. 中華民國平均每人國民所得：

在這個例子裡，我們用一個數字簡單代表那一年大致的情況，就以90年為例，393,447其實代表了大約二千萬個數字。

(二) 算術平均數(arithmetic mean)

1. 定義

算術平均數(arithmetic mean, arithmetic average)是最常用的集中量度。因為它最常用到，所以當我們沒有特別指明時，我們說「平均數」指的就是算術平均數。其公式為：。

e.g. 三民國中一年一班共有15位同學，他們期中考的分數如下：90、74、84、79、99、75、70、78、84、88、88、70、86、56、79。其算術平均數為80。

2. 算數平均數的特性

(1) 所有數到算術平均之總和為0：

(2) 算術平均數是使平方和最小的數字。，其中C為任意數。

(3) 易受極端值的影響。

Ex.1 Suppose we add an additional observation to a data set and that this observation is larger than all the previous observations.

True of false: The new observation always causes the median to increase.
True of false: The new observation sometimes causes the median to increase.
True of false: The new observation always causes the mean to increase.

Ans. a.. False；the median could remain constant. b. True c. True。
假設一組數字1、2、3、3、3、5、6，再加入7、8，中數仍為3，並未增加。

(三) 加權平均數(weighted mean, weighted average)

1. 定義與特性

當每一個數字的「重要性」不同時，我們就會需要加權。例如國高中學生的段考成績常有以每週課堂數為權重之加權計算。課堂數愈高的，其重要性也愈大。公式為：

分組資料之平均數即為其組中點之值，以個數為權重之加權平均。

2. 重要指數與其平均方法

(四) 幾何平均數(Geometric mean)

幾何平均數用以(1)表現成長率及(2)報酬率時。其公式為：。幾何平均數永遠小於或等於算術平均數。在投資上我們稱為. time-weighted return。

Ex.2 A portfolio of non-dividend-paying common stocks earned a geometric mean return of 5 percent between 1 January 1998 and 31 December 2004. The arithmetic mean return for the same period was 6 percent. If the market value of the portfolio at the beginning of 1998 was $100,000, the market value of the portfolio at the end of 2004 was closest to: A. $135,000. B. $140,710. C. $142,000. D. $150,363.

Ans. 100,000×(1+5%)⁷=140,710
【計算機使用】1.05→ y^x →7

(五) 中位數(median)

中位數就是中間的那個數：M_d=P₅₀。中位數最重要的特質是不易受極端值影響。在計算上如集合個數為雙數，則取中央兩數之平均。此外，集合中所有數字與中位數的距離和：比與其他任何數之距離和小。

香港的收盤價格即以收盤前一段時間交易的中位數作為其收盤價。

e.g. 2003年運動員年收入排名

平均數是4237萬美元，很明顯地不能代表這九個人，因為其中七個人都低於這個數字。因此，我們會選擇用中位數3190萬元來代表這九個人。此時，我們會說伍茲跟大舒馬賀是極端值。我們用圖形顯示會更清楚：

Ex.3 Let M, Md, and Mo be the mean, median and mode of a dataset, then which of the following is the smallest one: (A)　(B)　(C)　(D) 。

Ans. (A)

(六) 眾數(mode)

發生次數最多之數字

1. 平均值、中位數及眾數的關係。

皮爾生認為眾數、中位數與平均數有如下關係：M₀=3M_d-2M。

2. 中位數及眾數的使用時機

當處理類別資料時，中位數與平均收均無法適用，此時就會用眾數。如選舉時2號最多票為勝。而當次數分配不規則或無明顯趨勢時，眾數會失去意義。

當處理順序資料時，中位數會比平均數更符合邏輯上的意義。

(七) 截尾平均數(trimmed average, truncated average)

避免極端值之影響，如國民平均所得、奧運會跳水項目會去除評審最高及最低給分。舉例來說，我們可以取去除頭尾5%的資料作為平均數之計算範圍，這就是截尾平均數。

(八) 調和平均數(harmonic mean)

適用在特定問題中。例如：平均速度。

Ex.4 小明上山的速率是每小時5公里，下山速率是每小時15公里，請問其平均速率是多少？

Ans.

(九) 集中量度之平移與縮放

當我們以Y=aX+b將原始資料X轉換為Y時，平均數、中位數、眾數都成為a倍加上b。

e. describe, calculate and interpret quartiles, quintiles, deciles, and percentiles;

(一) 相對地位量度

相對地位量度之主要功能在於表達一個數值在全部觀察點中之相對地位。

1. 百分位數(Percentile)

當我們將N個觀察值由小排到大後，第n個百分位數表示第個數。也就是其下之數值佔了百分之n。若大雄的身高為P₃₅，表示有35％的人比大雄還矮。將資料分為百組，通常我們用P_n表示第n個百分位數。中位數等於P₅₀。我們通常用來計算其位置。

Ex.5 Find out P₇₅ given the following observations: 8%, 10%, 12%, 13%, 15%, 17%, 17%, 18%, 19%, 23%, 24%

Ans. L_y=9èP₇₅=19%。

2. 四分位數(quartiles)

百分之二十五、五十以及七十五的值。習慣上以Q_i表示。

Ex.6 In the following distribution:

The 3rd quartile is in Class: (A) A (B) B (C) C (D) D

Ans. (D)

3. 五分位數(quintiles)：將資料分為五組：20%、40%、60%、80%、100%

4. 十分位數(deciles)：將資料分為十組。

f. define, calculate, and interpret 1) a range and a mean absolute deviation, and 2 ) the variance and standard deviation of a population and of a sample;

(一) 變異量數的概念

測量資料之分散情形的量數，衡量散佈的範圍。

屬於離散的觀念，距離平均數有多遠、多散佈。在財務投資上，離散代表的就是風險。舉例來說，保證賺5％的投資 V.S. 平均賺5％，但有可能賺90％或賠80％的投資，這兩個你會選那一個？

(二) 全距(range)

MAX-MIN。樣本與母體無異。計算容易、提供之資訊較少

Ex.7 What is the range for the 10-year annualized total returns for five investment managers if the managers’ individual return were 30%, 12%, 28%, 25% and 21%

Ans. 18%

(三) 平均差(MAD, mean absolute deviation or AD, average deviation)

1.

2. 。

(四) 變異數(variance)

1. 變異數(variance)

變異數是一種最常用來衡量一群數值散佈範圍的指標。其公式為：

。

2. 樣本變異數(sample variance)

樣本變異數真正的意義必須在學到了抽樣與估計的概念後才能說得清楚。在此處只要記得，樣本變異數是一個用來估計母體真正變異數的指標，這種估計的指標有一個專有名詞稱為統計量。樣本變異數的公式是：

，

其中。

Ex.8 What is the variance for the 5-year annualized total returns for five investment managers if the managers’ individual return were 30%, 12%, 25%, 20% and 23%

Ans. σ²=0.003560。
【計算機使用】
2nd → 7 ：進入DATA模式è CE/C CLR WORK清除記憶 è X₀₁=0.3 → ENTER è ↓ Y₀₁略過 è ↓ 將X₀₂ X₀₃ … X₀₅等值輸入。
2nd → 8 進入STAT模式，看到1-V(one variable)/LIN/PWRè 2nd → ENTER 進入SET → LIN è ↓ n=5 è ↓ è ↓ 樣本 è ↓ 母體σ_x

(五) 標準差

1. 標準差

標準差是變異數開根號後的數值，衡量的是所有數值與平均數的平均距離。其公式為：

。

標準差必然是正值，而且其單位與原資料相同。也就是說我們會說某一群人的身高標準差5公分，但是你不能說某一群人的身高變異數是5公分。如果是變異數，你要說5公分²。

2. 樣本標準差

樣本標準差是變異數開根號後的數值，因此就等於：

。

Ex.9 (AIMR Sample 2004-21) Which of the following statements about standard deviation is most accurate? Standard deviation: A. is the square of the variance. B. can be a positive number or a negative number. C. is denominated in the same units as the original data. D. is the arithmetic mean of the squared deviations from the mean.

Ans. (C)

(六) 四分位差(quartile range)

，其中Q₃ - Q₁為內四份位數全距(inter-quartile range)，Q₃為第個觀察值，Q₁為第個觀察值。四分位差表示中央50%的資料的變異

(七) 變異量度的平移及縮放

1.

2.

假設一組數字：1、2、3、4、5è。

集中趨勢量度：所有數字變2倍è；所有數字+5è

變異量度：所有數字變5倍è標準差*5、變異數*25；所有數字+5，二者皆不變

(八) Semivariance

1. target semi-variance

。

如果計算台胎的Target semi-variance，將Target設為7000則Target semi-variance這個指標只看台股7000點以下的風險。

Semi-variance是CFA考試2005年新增的考試範圍，但隨後又不再列入範圍。

2. semi-variance

Let g be the mean of the distribution，比平均數小的散佈範圍

A measure of downside risk computed as the average of the squared deviations below the mean return

g. calculate and interpret the proportion of observations falling within a specified number of standard deviations of the mean, using Chebyshev’s inequality;

(一) 柴比雪夫不等式(Chebyshev’s inequality)

1. 定義

柴比雪夫Chebehsev’s Inequality：，。其意義為，不論母體之分佈，抽樣之樣本值發生在k個母體標準差範圍內之機率至少有。如果不從機率論的觀點來看，單就敍述統計來說，就是數值在k個標準差範圍內者，其數量比例至少有。柴比雪夫不等式雖然是絕對正確，但是由於其限制太鬆，實用價值其實很低。

2. 與常態分配之比較

(圖片來源www.gseis.ucla.edu)

3. n個標準差內之比例

由上表之比較可知柴比雪夫實乃“效果”不甚理想之估計值，它是一個一不論分配為何都對的結果。

h. define, calculate, and interpret the coefficient of variation and the Sharpe ratio;

(一) 夏普量度(Sharpe’s measure)

Sharpe measure：。計算每一單位風險的承受下，所獲取的利益貼損(premium)。舉例來說，若公債利率為2%(假設無任何風險risk-free interest rate)，投資某張股票的獲利平均為10%，標準差為5%則，其夏普量度為。

Ex.10 (Bodi chapter 27) If a portfolio manager consistently obtains a high Sharpe measure, the manager's forecasting ability A) is average B) is above average C) is below average D) does not exist. E) cannot be determined based on the Sharpe measure.

Ans. (B)

(二) 變異係數(Coefficient of Variation)

變異係數：。主要目的在於標準化比較之基準。為標準化後的標準差。例：單單比較台灣(近年約7000點)與美國道瓊(近年約12000點)的股市之變異並無意義，需要標準化後的資訊。因為CV常以百分比表示，故亦許多書藉將其定義列為。

Ex.11 (AIMR Sample 2004-23) A common stock with a coefficient of variation of 0.50 has a(n): A. variance equal to half the stock’s expected return. B. expected return equal to half the stock’s variance. C. expected return equal to half the stock’s standard deviation. D. standard deviation equal to half the stock’s expected return.

Ans. (D)

Ex.12 Please find out the CVs for the following two investments: T-Bills and S&P 500. A report that indicates that the mean monthly return on T-bills is 0.25 percent with a standard deviation of 0.36 percent, and the mean monthly return for the S&P 500 is 1.09 percent with a standard deviation of 7.30 percent.

Ans. CV for T-bills=1.44, CV for S&P 500=6.70

i. define and interpret skewness, explain the meaning of a positively or negatively skewed return distribution, and describe the relative locations of the mean, median, and mode for a nonsymmetrical distribution;

j. define and interpret measures of sample skewness and kurtosis.

(一) 偏態(skewness)

1. 定義

偏態是皮爾生所提的四大量度之一，用以判定分配之偏移狀態及程度。其定義如下：

2. 圖形

正偏態或右偏態(positive skewed or right skewed)(尾巴長長向右)

負偏態或左偏態(negative skewed or left skewed)(尾巴長長向左)

3. 偏態分配下之平均、中位數與眾數大小關係

以下關係是正常數據的表現：

(1) 右傾(right skewness)：Mean > Median > Mode

(2) 左傾(left skewness)：Mean < Median < Mode

4. 近似值

由皮爾森經過大量量測得知M₀=M-3(M-M_d)。

5. 應用

大的正偏態，表示出現正向偏誤的情形常見。在做投資時，如果有5%的平均收益，10%的標準差，則顯著的負偏態，告訴我們的訊息是，多半的時候，報酬高於平均，但是偶而會遇到大災難。許多投資股票的人都經歷過類似的經驗，這就是負偏態的現象。你能夠想得通嗎？

Ex.13 在集中量數中，下列何種情況最不可能出現？(A)M>Md>Mo (B)Mo>Md>M (C)M>Mo>Md (D)M=Mo=Md

Ans. (C)

(二) 峰度(kurtosis)

1. 基本概念

，衡量一組數據是不是比常態分配更尖。以四級動差描述。

峰度僅在單峰分配下有意義。常態分配之。大於3者為高狹峰(leptokurtic)，小於3者為低闊峰(platykurtic)。(lepto-是修長的，platy-是寛廣的)。

高狹峰表示：(1)較高的峰(peak)及(2)較肥的尾(fat-tail)。這注意，這兩件事是同時發生的。

2. excess kurtosis

G=K-3為excess kurtosis。

3. 應用

高峰等於肥尾。這在財務上的重要性是提醒我們極端值(extreme value)發生的可能性，表示發生的機率較大。以1926-2002間S&P500的月報酬率為例，其excess kurtosis高達9.4645，這表示發生大於三個標準差外的情況遠多於常態分配下的狀況。對於做風險控管的人來說，如果你是用其標準差5.65%來思考，危機就不遠了。