Reading 8: Probability Concepts

a. define a random variable, an outcome, an event, mutually exclusive events, and exhaustive events;

(一) 集合(set)與事件(event)

1. 集合的定義

(1) 集合(set)：一組資料集稱為一個集合。例如一群豬、一盒球、全台北市的人、所有上市公司、每日股市的漲跌。

(2) 因子(element)：集合中的每一組資料。

(3) 子集合(sub set)：一個集合的部分資料。例如台北市的人中支持民進黨的人、所有上市公司中今日股價上漲的部分。

(4) 交集(A∩B)、聯集(A∪B)、補集(A^C=S-A)

2. 文氏圖型(Venn diagram)

3. 樣本空間與事件

(1) 實驗(experiment)
實驗指的是發生我們所關心事件的過程。

(2) 結果(outcome)
每一次實驗操作(trial)的觀測值，這個觀測值必需是唯一的。

(3) 樣本空間(sample space)
樣本空間：所有結果的集合。
如果我們的實驗是丟兩次骰子，則樣本空間為{HH,HT,TH,TT}。如果我們所關心的是連續三天的股市表現則其樣本空間(以下稱之為S)共有八個點如下表：

4. 事件

(1) 事件：樣本空間的子集合。
舉例來說，連續兩天漲就是樣本空間S的一個事件，其表示方式為：連續兩天漲＝{漲漲漲, 漲漲跌, 跌漲漲}

(2) 簡單事件：只有一次試驗者稱為簡單事件。

(3) 互斥事件(mutually exclusive events)：
不包括同樣元素的兩個事件。舉例來說：第一天漲與第一天跌就是兩個互斥事件。如右圖，A、B無交集。

(4) 耗盡事件(exhaustive events)：
一群事件其聯集等於樣本空間，則稱為耗盡事件。同上例，第一天漲與第一天跌亦為耗盡事件。但彼此間不一定為互斥，如上圖，B、C亦可有交集。

(二) 組合學(combinatorics)

1. 算術基本原理

算術基本原理：獨立事件之可能性：若A, B兩事件獨立，且A有n種可能，B有m種可能，則A,B兩事件發生的組合，共有n×m種組合。

算術基本原理用在可重覆的選擇上(with replacement)。如果選擇不可以重覆(without replacement)則通常是n×(n-1)種組合。

(1) 階層(Factorial)：n！= n × (n-1) × (n-2) × …×1

(2) 排列(Permutation)：。

(3) 組合(Combination)：。

Ex.1 甲袋中有十顆不同顏色之色球，任意四顆放入乙袋中，則乙袋中可能的結果有幾種？

Ans.

Ex.2 小樂透中一個號碼，中三個號碼的機率？包二十一個號碼要花多少錢？中的機率是多少？

Ans. 中一個號碼：。中三個號碼：。包21個號碼共有種可能，共須2,713,200元，中獎機率為
【計算機使用】： 42 è 2nd è ＋ è 6 è ＝

Ex.3 (Kenk) About 20﹪of all professional football player are injures during a given season. A team has four star player. What is the probability that at least one of the star players gets injured？

Ans. 至少1人，2人、3人受傷都算è除去無人受傷的機率=0.5904

Ex.4 (Shul Sample-Exam-1-95) A coin is tossed five times. What is the probability of obtaining exactly three heads? (A) 1/8 (B)3/16 (C)1/4 (D)5/16

Ans. (D)=5/16

2. n個不同的東西的選取

(三) 隨機變數(random variable)

所謂的隨機變數就是把事件以數字代替，便於進一步以數學模型分析。舉例來說，我們以代表性別時，定義男生為1，女生為2，則抽樣為男生之機率我們會以P(X=1)表示。所以我們知道，如果在台北市民中任抽一個人為男人之機率為0.5則我們會以P(X=1)=0.5表示。以連續三日股市表現為例，我們可以定義隨機變數如下表：

此時，第一天跌後兩天漲的機率可以表示為P(跌漲漲)也可以表示為P(X=5)。

Ex.5 令隨機變數X之定義如上所述代表連續三天漲跌之不同事件，若股市為隨機過程，漲跌機率相同，P(X=6)之機率為何？至少兩天連續上漲的機率為何？

Ans. ，(漲漲漲、漲漲跌、跌漲漲)

b. explain the two defining properties of probability, and distinguish among empirical, subjective, and a priori probabilities;

c. state the probability of an event in terms of odds for or against the event;

d. distinguish between unconditional and conditional probabilities;

e. calculate and interpret 1) the joint probability of two events, 2) the probability that at least one of two events will occur, given the probability of each and the joint probability of the two events, and 3) a joint probability of any number of independent events;

(一) 機率概念(Probability Concepts)

1. 古典機率的定義

Laplace所定義的古典機率定義在等可能性(equally likely)結果的樣本空間中。舉例來說，以丟一次骰子的所有可能結果集合做成的樣本空間就叫等可能性的樣本空間。此時，我們定義機率為某事件中元素個數與樣本空間之元素個數比：

2. 古典機率的基本性質

(1)

(2)

(3) 若則

(4) 若則

(5) 若Ａ、Ｂ為二事件則

(6) 若Ａ、Ｂ為二事件且則。

3. 其他機率定義

(1) 主觀機率(subjective probability)
依個人之主觀判斷所得之機率。舉例來說：2004/3/10聯合報B1版標題：“計程車費率，調降機率不大”，其中的機率，就是一種主觀機率。

(2) 客觀機率(objective probability)

(3) 事前機率(priori probability)：依邏輯推論而得之機率。

(4) 經驗機率(empirical probability)：依過去歷史之相對次數所計算而得之機率

(5) 機會(odds)
在實務計算上，我們常常只能計算odd，而無法計算出機率。
發生E的機會(odd for E)＝。
不發生E的機會(odd against E)＝。

4. 聯合機率(joint probability)

(1) P(A∩B)：A發生且Ｂ發生。

(2) P(A∪B)：A發生或B發生。

(3) 乘法律：

(4) 加法律：

(Ben Shabad, http://davidmlane.com/ben/cartoons.html)

Ex.6 (AIMR Sample 2004-26) The probability that two or more events will happen concurrently is best characterized as: (A) joint probability. (B) multiple probability. (C) concurrent probability. (D) conditional probability.

Ans. (A)

Ex.7 假設有百分之四十的台北市民喜歡去陽明山，百分之三十九的人喜歡去石門水庫，兩個地方都喜歡去的人有百分之十五，則兩個地方都不喜歡去的人有百分之多少？喜歡去石門水庫卻不喜歡去陽明山的又有多少？

Ans. (1)40%+39%-15%=64%è36%。(2) 24%。

(二) 條件機率

1. 定義

：B事件發生的條件下，A事件發生的機率。

條 件機率指的是給定一些額外的資訊，其事件發生的機率會因而產生變化。從機率的定義開始思考，其原理是額外的資訊會改變我們所選擇的樣本空間。舉例來說，已 知某公司是電子業，則我們的樣本空間就不能再維持是所有上市公司，而必須只留下電子業的公司，此時，我們任選一家公司是LCD製造公司的機率自然與從上市公司中任選一家不同。

丟銅板二次的結果如下：

丟出二次正面的機率P(正，正)=1/4

條件機率的假設為：已知丟出正面，丟出二次正面的機率？

P(正正∣有正面)=

無條件機率(unconditional probability, or marginal probability)：相對於條件機率來說，無任何條件之一般機率則被稱為無條件機率。

凱因斯曾說：所有的機率都是條件機率。

f. distinguish between dependent and independent events;

(一) 獨立事件(independent)

1. 定義

所謂獨立事件即A發生與B發生的情況不互相影響。

數學上之表示法為：如果A與B獨立，則已知B不會影響A發生的機率：è。

不獨立者則為相依(dependent)

三個以上之事件獨立，未必表示任兩個都獨立，反之亦然。(see [Case p.27])

2. 生活實例

在第一次世界大戰的壕溝戰裡，老兵會教新兵，躲在最近形成的彈坑裏，因為兩顆砲彈掉到同一個彈坑的機遇實在很小[Levi]。

買樂透的人心中常有一種想法，許多期沒出現的號碼是不是該出現了？

玩股票的人在手中股票被套牢時會想，跌了好幾天了，明天總會漲了吧？這是當Roberts(1967)所定義的弱式市場效率假說(weak form of the efficient market theory)成立時不應該有的想法。因此，弱式市場效率假說背後的統計意義就是在我們僅單單觀察每日市場價格的資訊條件下，每日之行情是「獨立」的。

e.g.

Patient : "What are the chances of my recovering doctor?"　Doctor : "One hundred percent. Medical records show that nine out of ten people die of the disease you have. Yours is the tenth case I've treated. The others all died".

Teacher : " Can anybody give an example of COINCIDENCE?" . One Student : "Sir, my Mother and Father got married on the same day and at the same time."

Ex.8 (Shul Sample-Exam-1-91) Suppose that A and the B are independent events. The probability of A is 0.6 and the probability of B is 0.8.What is the probability either A or B will occur?(A)0.14 (B)0.48 (C)0.92 (D)None of the above

Ans. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)= P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.92

g. calculate and interpret, using the total probability rule, an unconditional probability;

(一) 全機率法則(the total probability rule)

如果是互斥則耗竭事件集合，則A發生之機率可由每一個已知發生之機率加總而成。è

全機率法則的意思就是一個事件發生的機率，為所有事件下之條件機率的總和。

h. explain the use of conditional expectation in investment applications;

i. diagram an investment problem, using a tree diagram;

在已知某事件發生下，另一事件發生的機率稱為條件機率。在投資上，我們常需要思考許多條件機率，例如當美股大漲、油價大漲下台股上漲的機率。

我們用下面這種圖來表示：

j. calculate and interpret covariance and correlation;

(一) 共變數(covariance)

1. 共變數

(1)

(2) 假設X.Y關係如下表，＞0，＞0，則Cov為「+」，表同向變數。反之，若Cov為「-」，表不同向變數。

e.g.

2. 樣本共變數

其乘上矯正係數之原因與樣本變異數同。

3. 共變數的特性

自身共變即變異：。

(二) 相關係數(correlation coefficient)

1. 基本概念

高騰(Sir Francis Galeton, 1822-1911)，提出相關係數。其定義為：

。

當計算樣本相關係數時，我們會將上式之N改成N-1。相關係數常用r或代表，r主要乃從regression這個字而來。是一種將共變數標準化的過程，與變異係數之目的相同。

2. 特性

(1) 相關係數介於 ±1之間。

(2) 正相關表示兩個變數向同方向移動；負相關表示兩個變數向不同方向移動。

(3) 相關係數的絕對值愈大，表示其相關性愈強。但必須注意的是，這個性質只有在觀察點個數相近的資料群間作比較才有意義。

(4) 在觀察點個數相近的資料群間作比較時，是順序量度，非區間量度。可以比大小，但不能數量化，如：大0.5倍。

(5) +1表示完全正相關，-1表示完全負相關，二者必須在同一條直線。0表示無線性相關(linearly uncorrelated)，但未必是沒有關係。

(6) 。相關係數不受「線性」轉換影響。

(7) 相關不代表因果

相關只代表同時發生，例如A公寓的地板溼與B公寓的地板溼，若是因為雨天，則有相關性，若是因為主人對地板潑水，則二者可能毫無相關。又如吸煙與肺癌，只能證明其相關性，但無法證明肺癌一定是吸菸引起，也許是壓力過大。
在法國劇作家羅斯丹(Rostand)的 一齣劇中，主角是一雙清晨啼叫的公雞，他與鳥王鳯凰在對話。公雞說，如果他不啼叫，太陽就不會昇起。他指出，日出的輝煌燦爛都是自己的功勞。鳯凰於是建議 他，怎麼不休息一天看看。公雞於是很生氣地與鳯凰大聲爭辯。哈彿大學的研究人員，隨機的地給鴿子食物，但鴿子卻創造出舞蹈(見隨機的致富陷井)。這些都是錯把相關當因果的例子

(8) 相關係數非比率變數

事實上，他們也非等距變數。充其量我們只能說相關係數的絕對值是一個順序變數。

3. 圖形

不同相關係數之圖型(圖型取自芬蘭赫爾辛基大學)

Ex.9 In hedging the risk we calculate the hedge ratio, , of contracts. Now, if you learn that Delta airline is going to buy heating fuel future to hedge its risk of jet feul and you gathered the information in the table. Please find the hedge ratio for Delta airline (modified from Ness, A, “Delta wins on feul”, Risk ,June 2001)

k. calculate and interpret the expected value, variance, and standard deviation of a random variable and of returns on a portfolio;

l. calculate and interpret covariance given a joint probability function;

(一) 期望值(expected value, or expectation)

1. 定義與特性

期望值乃是以機率形式表示之母體平均值的估計。期望值可以看成隨機變數以其發生機率之加權平均。

(1) 離散(discrete)分佈之定義：。

(2) 連續下之定義：。

(3) 。

Ex.10 投一個骰子的點數期望值為？

Ans.

Ex.11 A manufacturing representative is considering the purchase of an insurance policy to cover possible losses from marketing a new product. If the product is a complete failure, the company will lose $88,000；if it is only moderately successful, the company will lose $23,000.The probabilities that the product will be a failure or only moderately are.04 and .16,respectively.Assuming that the manufacturing representative would be willing to ignore all other possible losses, what premium should the insurance company charge for the policy to break even？

Ans. 88000*0.04+23000*0.16=$7,200

(二) 條件期望值

。

根據條件機率求得之期望值。

(三) 變異數(variance)與標準差(standard deviation)

1. 變異數

。

此處所指的是對於一組隨機變數的變異數，這與我們針對一群資料所作之變異數都稱作變異數，但實際計算上不會有混淆。

。

2. 標準誤(standard error)與標準差(standard deviation)

Ex.12 (AIMR Sample 2004-22) An analyst developed the following probability distribution of the rate of return for a common stock:

The standard deviation of the rate of return is closest to:

A. 0.0200. B. 0.0267. C. 0.0283. D. 0.0400.

Ans. μ=E(x)=0.25*0.08+0.5*0.12+0.25*0.16=0.12
è
σ²=0.25(0.08-0.12)2+0.5(0.12-0.12)2+0.25(0.16-0.12)2=0.0008
èσ=0.0283

(四) 共變數(covariance)、相關係數(correlation)

1. 共變數

共變數(covariance)：。

兩隨機變數和之變異數：。

2. 相關係數

。

Ex.13 (Defu p.216-ex-14)給定兩種投資的報酬的聯合機率函數(joint probability function)如下表，求其共變數

Ans. E(A)=0.1，E(B)=0.175，Cov(A, B)=0.0025。

m. calculate and interpret an updated probability, using Bayes’ formula;

(一) 貝氏定理(Bayes’ formula)

在基礎的統計學中，貝氏定理談的是事前(prior)與事後(post)的問題。我不太喜歡這的翻譯，因為沒有什麼是事後的。貝氏定理在談的其實是資訊的問題：已知A求B的機率，與已知B求 Ａ的機率之間的關係。這個小小的觀念為什麼這麼重要？因為我們所得的資訊都不夠完整。舉例來說，你想要知道戴全帽是不是比較安全，則你在乎的是戴安全帽的 人出車禍後致死的機率。問題是，你在醫院看到的都是出了車禍的人，所以你得到的資訊是出車禍致死的人，當初有戴安全帽的機率。如何反過來得到自己所要的資 訊就是貝氏定理在談的問題。千萬不要看到出車禍致死的人多半有戴安全帽就說戴安全帽是沒有用的；看到醫院裏的孕婦多半都是二十幾歲就說這是最容易受孕的年 齡。這些都是最標準的邏輯錯誤，即使許多人都學過統計，卻仍然常有這種結論。

1. 定理

用在已知在A發生下B發生之機率，求B發生下A發生之機率。

舉例來說，假設我們在觀察地雷股後發現有50%的地雷股是家族企業，則我們想知道上市櫃的家族企業有多少會成為地雷股。

貝氏定理之功能即在從容易觀察之資訊，推知不易觀察之部分。

2. 事前(prior)及事後機率(posterior probability)

在無任何條件下推估之機率為事前機率。

根據某事件已發生的資訊而去調整另一個事件機率時，被調整後的另一事件之機率稱為事後機率。

舉例來說，隨便一個人去考統計考高分之機率是10%，這個10%就是事前機率。若已知這個人已經上過名師邵老師的統計學後，我們推估其考得高分之機率為80%，則這個80%就是事後機率。

Ex.14 (AIMR Sample 2004-27) An analyst has developed a ratio to identify companies expected to experience declining earnings per share (EPS). Research shows that 70 percent of firms with declining EPS have a negative ratio, while only 20 percent of firms not experiencing a decline in EPS have a negative ratio. The analyst expects that 10 percent of all publicly traded companies will experience a decline in EPS next year. The analyst randomly selects a company and its ratio is negative. Based on Bayes’ theorem, the posterior probability that the company will experience an EPS decline next year is closest to: A. 14%. B. 28%. C. 30%. D. 50%.

Ans. =28%

Ex.15 假定有一種疾病，普及率是千分之一，檢驗結果是錯誤的比率為百分之五。假設你完全不知道某位病人的症狀或情況，只曉得檢驗此病的結果是陽性，那麼他確實得病的機會有多少？

Ans.

Ex.16 (Ande p.169-ex.43)　小車比較省油，大車比較安全。小車佔整體車輛的18%。最近一年的調查顯示，小車的意外事故造成11,898人死亡（讀者文摘，May2000）。小車的交通事故造成死亡的機率是0.128。與小車無關的交通事故造成死亡的機率是0.05。假定你已經知道某件死亡事故，這件事故係由小車造成的機率是多少？

Ans. P(小∣死)=

==

=40%

n. identify the most appropriate method to solve a particular counting problem, and solve counting problems using the factorial, combination, and permutation notations.